如何找到一个矩阵的特征值和特征向量
flyfish
仅方阵存在特征值和特征向量；
特征向量是非零向量，特征值可以是任意实数（包括0）；
以2×2矩阵为例的求解步骤
步骤1：求矩阵的特征值
通过公式 det(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0det(A−λI)=0 计算，其中：
AAA 是待分析的2×2矩阵；λ\lambdaλ 是特征值（未知数）；III 是单位矩阵（主对角线为1，其余为0的矩阵）；det(⋅)\det(\cdot)det(⋅) 表示计算矩阵的行列式。
利用“特征值满足齐次线性方程组 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0(A−λI)v=0 有非零解”的性质，而齐次方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为0，因此推导出 det(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0det(A−λI)=0。
步骤2：求对应特征值的特征向量
将步骤1中求出的特征值 λ\lambdaλ 代入方程 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0(A−λI)v=0，求解非零向量 vvv（即特征向量）。
第一个例子
矩阵 A=[−6345]A = \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}A=[−6435]
步骤1：明确公式
求矩阵特征值的公式是：∣A−λI∣=0|A - \lambda I| = 0∣A−λI∣=0
其中：
AAA 是待求特征值的矩阵；λ\lambdaλ 是特征值（我们要求的未知数）；III 是单位矩阵（主对角线为1，其余为0的矩阵）；∣⋅∣|\cdot|∣⋅∣ 表示计算矩阵的行列式。
步骤2：构造 A−λIA - \lambda IA−λI
矩阵 A=[−6345]A = \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}A=[−6435]，单位矩阵 I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}I=[1001]，则：
A−λI=[−6345]−λ[1001]=[−6−λ345−λ]
A - \lambda I = \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6-\lambda & 3 \\ 4 & 5-\lambda \end{bmatrix}
A−λI=[−6435]−λ[1001]=[−6−λ435−λ]
步骤3：计算行列式 ∣A−λI∣|A - \lambda I|∣A−λI∣
对于2×2矩阵 [abcd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}[acbd]，行列式公式为 ad−bcad - bcad−bc。
这里 a=−6−λa = -6-\lambdaa=−6−λ，b=3b = 3b=3，c=4c = 4c=4，d=5−λd = 5-\lambdad=5−λ，因此：
∣A−λI∣=(−6−λ)(5−λ)−3×4
|A - \lambda I| = (-6-\lambda)(5-\lambda) - 3 \times 4
∣A−λI∣=(−6−λ)(5−λ)−3×4
步骤4：展开并化简行列式，得到二次方程
先展开 (−6−λ)(5−λ)(-6-\lambda)(5-\lambda)(−6−λ)(5−λ)：
(−6−λ)(5−λ)=−6×5+(−6)×(−λ)+(−λ)×5+(−λ)×(−λ)=−30+6λ−5λ+λ2=λ2+λ−30
\begin{align*}
(-6-\lambda)(5-\lambda) &= -6 \times 5 + (-6) \times (-\lambda) + (-\lambda) \times 5 + (-\lambda) \times (-\lambda) \\
&= -30 + 6\lambda - 5\lambda + \lambda^2 \\
&= \lambda^2 + \lambda - 30
\end{align*}
(−6−λ)(5−λ)=−6×5+(−6)×(−λ)+(−λ)×5+(−λ)×(−λ)=−30+6λ−5λ+λ2=λ2+λ−30
再减去 3×4=123 \times 4 = 123×4=12，得到：
λ2+λ−30−12=λ2+λ−42
\lambda^2 + \lambda - 30 - 12 = \lambda^2 + \lambda - 42
λ2+λ−30−12=λ2+λ−42
因此，特征方程为：
λ2+λ−42=0
\lambda^2 + \lambda - 42 = 0
λ2+λ−42=0
步骤5：解二次方程，得到特征值
对 λ2+λ−42=0\lambda^2 + \lambda - 42 = 0λ2+λ−42=0 进行因式分解（或用求根公式）。
寻找两个数，使其乘积为 -42，且和为 1，可得这两个数是 777 和 −6-6−6，因此：
(λ+7)(λ−6)=0
(\lambda + 7)(\lambda - 6) = 0
(λ+7)(λ−6)=0
解得：
λ=−7或λ=6
\lambda = -7 \quad \text{或} \quad \lambda = 6
λ=−7或λ=6
矩阵 AAA 的两个特征值为 −7{-7}−7 和 6{6}6。
已知矩阵的特征值 λ=6\lambda = 6λ=6，求其对应的特征向量（即满足 Av=λvAv = \lambda vAv=λv 的非零向量 vvv）。
步骤1：明确特征向量的定义式
特征向量 vvv 需满足 Av=λv{Av = \lambda v}Av=λv（v≠0v \neq \mathbf{0}v=0）。
已知矩阵 A=[−6345]A = \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}A=[−6435]，特征值 λ=6\lambda = 6λ=6，设特征向量 v=[xy]v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}v=[xy]（非零列向量）。
步骤2：代入定义式，展开矩阵乘法
将 AAA、λ\lambdaλ、vvv 代入 Av=λvAv = \lambda vAv=λv：
[−6345][xy]=6[xy]
\begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
[−6435][xy]=6[xy]
左边矩阵乘向量后得到：
[−6x+3y4x+5y]=[6x6y]
\begin{bmatrix} -6x + 3y \\ 4x + 5y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6x \\ 6y \end{bmatrix}
[−6x+3y4x+5y]=[6x6y]
步骤3：转化为线性方程组并化简
根据向量相等的定义，对应分量相等，得到两个方程：
{−6x+3y=6x4x+5y=6y
\begin{cases}
-6x + 3y = 6x \\
4x + 5y = 6y
\end{cases}
{−6x+3y=6x4x+5y=6y
将所有项移到左边，化简得：
{−12x+3y=04x−y=0
\begin{cases}
-12x + 3y = 0 \\
4x - y = 0
\end{cases}
{−12x+3y=04x−y=0
这两个方程是等价的（第二个方程两边乘3即可得到第一个方程），只需解其中一个，比如 4x−y=04x - y = 04x−y=0，可得 y=4x{y = 4x}y=4x。
步骤4：确定特征向量的形式
因为 y=4xy = 4xy=4x，xxx 可取任意非零常数（特征向量不能是零向量）。
令 x=1x = 1x=1，则 y=4y = 4y=4，得到一个基础特征向量：
v=[14]
v = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}
v=[14]
所有与 [14]\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}[14] 成非零倍数的向量（如 k[14],k≠0k\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, k \neq 0k[14],k=0），都是 λ=6\lambda = 6λ=6 对应的特征向量。
步骤5：验证解的正确性
将 v=[14]v = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}v=[14] 代入 AvAvAv 和 λv\lambda vλv，验证是否相等：
计算 AvAvAv：
[−6345][14]=[−6×1+3×44×1+5×4]=[624]
\begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \times 1 + 3 \times 4 \\ 4 \times 1 + 5 \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 24 \end{bmatrix}
[−6435][14]=[−6×1+3×44×1+5×4]=[624]计算 λv\lambda vλv：
6[14]=[624]
6 \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 24 \end{bmatrix}
6[14]=[624]
两者相等，说明 [14]\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}[14] 是 λ=6\lambda = 6λ=6 对应的特征向量。
λ=−7\lambda = -7λ=−7 也是一个有效的特征值，同样可以按照完全相同的步骤求它对应的特征向量：
代入 Av=λvAv = \lambda vAv=λv，即 [−6345][xy]=−7[xy]\begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = -7 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[−6435][xy]=−7[xy]；展开得到方程组 {−6x+3y=−7x4x+5y=−7y\begin{cases} -6x + 3y = -7x \\ 4x + 5y = -7y \end{cases}{−6x+3y=−7x4x+5y=−7y，化简为 {x+3y=04x+12y=0\begin{cases} x + 3y = 0 \\ 4x + 12y = 0 \end{cases}{x+3y=04x+12y=0；解得 x=−3yx = -3yx=−3y，令 y=1y = 1y=1，则特征向量为 [−31]\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}[−31]（或其非零倍数，如 k[−31],k≠0k\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}, k \neq 0k[−31],k=0）。
第二个例子
要解决矩阵 A=[1254]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}A=[1524] 的特征值和特征向量问题，先求特征值，再对每个特征值求对应特征向量
一、求特征值（解 det(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0det(A−λI)=0）
特征值的定义是满足 det(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0det(A−λI)=0 的常数 λ\lambdaλ，其中：
I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}I=[1001] 是单位矩阵；det(⋅)\det(\cdot)det(⋅) 表示矩阵的行列式。
步骤1：构造 A−λIA - \lambda IA−λI
A−λI=[1−λ254−λ]
A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 5 & 4-\lambda \end{bmatrix}
A−λI=[1−λ524−λ]
步骤2：计算行列式并化简
对于2×2矩阵 [mnpq]\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}[mpnq]，行列式为 mq−npmq - npmq−np，因此：
det(A−λI)=(1−λ)(4−λ)−2×5=4−λ−4λ+λ2−10=λ2−5λ−6=(λ−6)(λ+1)
\begin{align*}
\det(A - \lambda I) &= (1-\lambda)(4-\lambda) - 2 \times 5 \\
&= 4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 - 10 \\
&= \lambda^2 - 5\lambda - 6 \\
&= (\lambda - 6)(\lambda + 1)
\end{align*}
det(A−λI)=(1−λ)(4−λ)−2×5=4−λ−4λ+λ2−10=λ2−5λ−6=(λ−6)(λ+1)
步骤3：解方程 det(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0det(A−λI)=0
(λ−6)(λ+1)=0 ⟹ λ=6 或 λ=−1
(\lambda - 6)(\lambda + 1) = 0 \implies \lambda = 6 \text{ 或 } \lambda = -1
(λ−6)(λ+1)=0⟹λ=6 或 λ=−1
二、求特征值 λ=6\lambda = 6λ=6 对应的特征向量（解 (A−6I)v=0(A - 6I)v = 0(A−6I)v=0）
特征向量 v=[ab]v = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}v=[ab] 需满足 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = \mathbf{0}(A−λI)v=0（0\mathbf{0}0 是零向量）。
步骤1：构造 A−6IA - 6IA−6I
A−6I=[1−6254−6]=[−525−2]
A - 6I = \begin{bmatrix} 1-6 & 2 \\ 5 & 4-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}
A−6I=[1−6524−6]=[−552−2]
步骤2：解方程组 (A−6I)v=0(A - 6I)v = \mathbf{0}(A−6I)v=0
[−525−2][ab]=[00]
\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[−552−2][ab]=[00]
即：
−5a+2b=0 ⟹ 5a=2b
-5a + 2b = 0 \implies 5a = 2b
−5a+2b=0⟹5a=2b
步骤3：确定特征向量
令 a=2a = 2a=2，则 b=5b = 5b=5，因此特征向量为：
v=[25](所有非零倍数均为特征向量)
v = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} \quad (\text{所有非零倍数均为特征向量})
v=[25](所有非零倍数均为特征向量)
三、求特征值 λ=−1\lambda = -1λ=−1 对应的特征向量（解 (A+I)v=0(A + I)v = 0(A+I)v=0）
步骤1：构造 A+IA + IA+I
A+I=[1+1254+1]=[2255]
A + I = \begin{bmatrix} 1+1 & 2 \\ 5 & 4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}
A+I=[1+1524+1]=[2525]
步骤2：解方程组 (A+I)v=0(A + I)v = \mathbf{0}(A+I)v=0
[2255][ab]=[00]
\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[2525][ab]=[00]
即：
2a+2b=0 ⟹ a=−b
2a + 2b = 0 \implies a = -b
2a+2b=0⟹a=−b
步骤3：确定特征向量
令 a=1a = 1a=1，则 b=−1b = -1b=−1，因此特征向量为：
v=[1−1](所有非零倍数均为特征向量)
v = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad (\text{所有非零倍数均为特征向量})
v=[1−1](所有非零倍数均为特征向量)
矩阵 AAA 的特征值为 λ=6{\lambda = 6}λ=6 和 λ=−1{\lambda = -1}λ=−1；
对应特征值 666 的特征向量为 [25]{\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}}[25]（及非零倍数）；
对应特征值 −1-1−1 的特征向量为 [1−1]{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}}[1−1]（及非零倍数）。