以下是常见的数学统计模型分类及简要说明，适用于数据分析、预测和推断等场景：
1. 参数模型（Parametric Models）
假设数据服从特定分布（如正态分布），通过估计参数来描述数据规律。
1.1 线性回归模型
数学形式：( y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_p x_p + \epsilon )应用：预测连续型目标变量（如房价预测）。特点：简单、可解释性强，假设误差项独立同分布（i.i.d）。
1.2 逻辑回归模型
数学形式：( P(y=1) = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)}} )应用：二分类问题（如信用评分、疾病诊断）。特点：输出为概率，使用对数几率（logit）连接函数。
1.3 泊松回归模型
数学形式：( \log(\lambda) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p )应用：计数型数据建模（如交通事故次数、呼叫中心来电数）。特点：响应变量服从泊松分布，均值等于方差。
1.4 广义线性模型（GLM）
数学形式：( g(\mu) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p )应用：扩展线性回归，支持非正态分布（如二项分布、伽马分布）。特点：通过链接函数 ( g(\cdot) ) 连接线性预测器和响应变量。
2. 非参数模型（Nonparametric Models）
不假设数据分布形式，灵活适应复杂结构。
2.1 核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）
数学形式：( \hat{f}(x) = \frac{1}{n h} \sum_{i=1}^n K\left( \frac{x - x_i}{h} \right) )应用：估计随机变量的概率密度函数（PDF）。特点：无需分布假设，依赖带宽 ( h ) 的选择。
2.2 局部加权回归（LOESS）
数学形式：对局部数据点加权拟合多项式回归。应用：非线性关系建模（如趋势分析）。特点：灵活适应数据局部变化，计算成本较高。
3. 时间序列模型
用于分析随时间变化的数据，捕捉趋势、季节性和自相关性。
3.1 自回归模型（AR）
数学形式：( y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t )应用：股票价格预测、经济指标分析。特点：当前值与历史值线性相关。
3.2 移动平均模型（MA）
数学形式：( y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q} )应用：消除随机波动，提取平稳成分。特点：当前值与历史误差项相关。
3.3 ARIMA模型
数学形式：AR + 差分（I） + MA，即 ( \text{ARIMA}(p, d, q) )应用：非平稳时间序列预测（如销售量、气温）。特点：通过差分使序列平稳，结合AR和MA特性。
4. 贝叶斯模型
基于贝叶斯定理，结合先验分布和似然函数进行推断。
4.1 贝叶斯线性回归
数学形式：( P(\beta | y, X) \propto P(y | X, \beta) P(\beta) )应用：小样本数据下的参数估计。特点：提供参数的后验分布，而非点估计。
4.2 隐马尔可夫模型（HMM）
数学形式：状态转移概率 + 观测概率。应用：语音识别、基因序列分析。特点：假设隐藏状态驱动观测结果。
5. 生存分析模型
研究事件发生时间的分布及影响因素。
5.1 Kaplan-Meier估计
数学形式：( S(t) = \prod_{t_i \leq t} \left( 1 - \frac{d_i}{n_i} \right) )应用：生存率估计（如患者存活时间）。特点：非参数方法，处理右删失数据。
5.2 Cox比例风险模型
数学形式：( h(t | X) = h_0(t) \exp(\beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p) )应用：分析生存时间与协变量的关系。特点：不假设基准风险函数 ( h_0(t) ) 的形式。
6. 聚类与降维模型
用于无监督学习，发现数据内在结构。
6.1 K均值聚类（K-Means）
数学形式：最小化组内平方和 ( \sum_{i=1}^k \sum_{x \in C_i} |x - \mu_i|^2 )应用：客户分群、图像压缩。特点：需预先指定簇数 ( k )，对异常值敏感。
6.2 主成分分析（PCA）
数学形式：协方差矩阵特征分解，保留最大方差方向。应用：数据降维、可视化。特点：线性变换，无监督特征提取。
总结
模型类型典型模型核心特点应用场景参数模型线性回归、逻辑回归假设分布，参数可解释预测、分类非参数模型KDE、LOESS灵活适应复杂数据密度估计、趋势分析时间序列模型ARIMA、HMM捕捉时序依赖经济预测、语音识别贝叶斯模型贝叶斯回归结合先验与后验小样本推断生存分析模型Cox模型处理删失数据医学研究、可靠性分析聚类与降维K-Means、PCA无监督学习，数据压缩客户分群、特征工程根据具体问题选择模型时，需考虑数据分布、样本量、目标变量类型（连续/离散）以及是否需要可解释性。